What figure is formed? - December 1995
What figure is formed when the consecutive midpoints of the sides of a quadrilateral are joined? What if the original quadrilateral were a rectangle? A kite? An isosceles trapezoid? A square? A rhombus? Other shapes? Explain why you think your answer is true.
From: desigaux@grenet.fr (Martine Desigaux) Honorable Mention #1
Sebastien Reyt, Collège Jules Flandrin, Corenc, France
Not only did Sebastien include pictures, but the whole thing's in French :-) Sebastien sent pictures as well as the figures themselves in Cabri II. The images you see are linked to the actual Cabri II figures he sent. To see those figures, you need a copy of Cabri II (you can download the Mac demo version from our site), and you need to configure your browser so that it knows how to use Cabri II as a helper application. (You don't have to, but it's cool that way.)
Forum de géométrie Que pouvez-vous dire de la figure qui se forme en joignant les milieux des côtés d'un quadrilatère?
Projet du mois
Décembre 1995ENONCE
Que pouvez-vous dire de cette figure si le quadrilatère initial est un rectangle? Un cerf-volant? Un trapèze isocèle? Un carré? Un losange? D'autres formes?
Expliquez pourquoi vous pensez que votre reponse est juste.
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SOLUTION
Quadrilatère quelconque (figure 1).
Démonstration 1:
Règle 1: La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
G est le milieu de [BC]. H est le milieu de [CD]. Donc (GH) est une droite des milieux et est parallèle à (BD).
D'après la règle 1: (BD)//(GH) {1}
E est le milieu de [AD]. F est le milieu de [AB]. Donc (EF) est une droite des milieux et est parallèle à (BD).
D'après la règle 1: (BD)//(EF) {2}
Par transitivité entre les phrases {1} et {2}:
(GH)//(EF)
E est le milieu de [AD]. H est le milieu de [CD]. Donc (EH) est une droite des milieux et est parallèle à (AC).
D'après la règle 1: (AC)//(EH) {3}.
F est le milieu de [AB]. G est le milieu de [BC]. Donc (FG) est une droite des milieux et est parallèle à (AC).
D'après la règle 1: (AC)//(FG) {4}.
Par transitivité entre les phrases {3} et {4}:
(EH)//(FG)
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles, alors c'est un parallélogramme.
EFGH est un parallélogramme.
Trapèze quelconque (figure 2).
Le parallélisme des côtés ne changent rien à la figure finale.
Si ABCD est un trapèze quelconque, EFGH est un parallélogramme.
Trapèze isocèle (figure 3).
D'après la démonstration 1, EFGH est un parallélogramme.
Règle 2: Dans un triangle,le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté.
Dans le triangle ABC, [FG] mesure la moitié de [AC]
Dans le triangle ABD, [EF] mesure la moitié de [BD]Dans un trapèze isocèle, les diagonales sont égales donc si [BD] et [AC] sont égales, alors [FG] et [EF] sont égaux.
Si deux côtés consécutifs d'un parallélogramme sont égaux, alors c'est un losange.
Si ABCD est un trapèze isocèle, EFGH est un losange.
Parallélogramme (figure 4).
Un parallélogramme est un trapèze isocèle, les propriétés supplémentaires du parallélogramme ne permettent pas de transformer la figure finale, donc la figure finale est un losange.
Si ABCD est un parallélogramme, EFGH est un losange.
Rectangle (figure 5).
Un rectangle est un trapèze isocèle, les propriétés supplémentaires du rectangle ne permettent pas de transformer la figure finale, donc la figure finale est un losange.
Si ABCD est un rectangle, EFGH est un losange.
Cerf-volant (figure 6).
D'après la démonstration 1, EFGH est un parallélogramme.
Dans un cerf-volant, les diagonales sont perpendiculaires.
Règle 3: Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc les côtés du quadrilatère final sont perpendiculaires.
Si les côtés d'un parallélogramme sont perpendiculaires, alors c'est un rectangle.
Si ABCD est un cerf-volant, EFGH est un rectangle.
Losange (figure 7).
Un losange est un parallélogramme, les propriétés supplémentaires du losange ne permettent pas de transformer la figure finale, donc la figure finale est un rectangle.
Si ABCD est un losange, EFGH est un rectangle.
Carré (figure 8).
Un carré est un rectangle et un losange. La figure finale sera donc un rectangle et un losange, ce qui forme un carré.
Si ABCD est un carré, EFGH est un carré.
Remarque.
On remarque que les propriétés (parallélisme, orthogonalité, longueurs égales...) appliquées aux côtés de la figure initiale correspondent aux propriétés appliquées aux diagonales de la figure finale et que les propriétés appliquées aux diagonales de la figure initiale correspondent aux propriétés appliquées aux côtés de la figure finale.
Comments
(I will not put my comments in French, in case you were wondering, or worried!) Sebastien did a very nice job here. His presentation of the problem is very good. He states and proves the general case, and then goes on to prove seven examples, and even adds some comments at the end. He combines those solutions very well. For instance, for the square he reasons that it must have the same qualities as the rhombus and the rectangle. His explanations are also very clear and well thought out.Here's the problem: He got one of them wrong! The inner figure of a parallelogram is a parallelogram, not a rhombus. The problem here is that he tried to use previous reasoning with the isosceles trapezoid, saying that the parallelogram is an isosceles triangle and figuring they produce the same figure. It doesn't work out in this case, and I am sort of surprised, because the figure in his picture doesn't look anything like a rhombus. Now, that same reasoning worked for the rectangle (it's an isosceles trapezoid; hence, as with the isosceles trapezoid, the inner figure is a rhombus). Something worth thinking about. There are many discussions about the proper definition of "trapezoid" and whether it is "only one pair of opposite sides parallel" or "at least one pair of opposite sides parallel." Here is an instance where it seems to matter.
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